ygor_gabriel: março 2011

terça-feira, 1 de março de 2011

O módulo, ou valor absoluto (representado matematicamente como |x|) de um número real x é o valor numérico de x desconsiderando seu sinal. Está associado à idéia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude. O módulo pode ser definido da seguinte forma:

|x|= x se, e somente se x for maior ou igual a zero ou, |x|= -x se x for menor que zero.

Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos

Podemos estender esse conceito para qualquer expressão que estiver dentro do módulo, por exemplo:

Dada a função $f (x) = | x - 1 | + 2$ :

Para resolver esse problema, é preciso primeiro fazer o estudo do sinal da expressão que está dentro do módulo, igualando-a a zero, a fim de saber para quais valores de x a expressão é negativa ou positiva: $x - 1 = 0 \longrightarrow x = 1$ (raiz). Portanto, para todos os valores de x maiores ou iguais a 1, a expressão é positiva e para todos os valores de x menores a 1, a expressão é negativa. Como o módulo é sempre um valor absoluto (positivo), quando a expressão for negativa, basta acrescentar o sinal de menos, para torná-la positiva:

$x \ge 1 \longrightarrow | x - 1 | = x - 1 \longrightarrow f(x) = x + 1$

$x \le 1 \longrightarrow | x - 1 | = - (x - 1) \longrightarrow f(x) = -x + 3$

[editar]Propriedades

$|x|^2 = x^2\qquad \forall x \in \mathbb{R}$

$|-x|=|x|\qquad \forall x \in \mathbb{R}$

$|x-y|\le|x|+|y|\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}$

$|x-y|\ge||x|-|y||\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}$

$|-xy|=|x||+y|\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}$

[editar]Teorema da Desigualdade Triangular

Se a,b $\in \mathbb{R}$ , então $|a+(-b)| \le |a|+|b|$

O módulo, ou valor absoluto

(representado matematicamente como |x|) de um número real x é o valor numérico de x desconsiderando seu sinal. Está associado à idéia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude. O módulo pode ser definido da seguinte forma: